符号表达式与符号运算

数值计算回答“给定输入后结果是多少”，符号运算保留未知量与关系，回答“结果由哪些输入、按照什么规则得到”。这层能力既服务优化建模，也可以服务指标计算和规则解释，不依赖 LLM。

1. 表达式不是文本公式

把公式保存成字符串会丢失类型、引用和作用域信息。抽象语法树（AST）用节点表达常量、引用、算术、比较与逻辑结构。以下是概念节点，不是 Kotlin/Rust API 名称：

LessEqual
├─ Add
│  ├─ Multiply(Constant(2), Reference(production[A]))
│  └─ Multiply(Constant(3), Reference(production[B]))
└─ Reference(labor.capacity)

它表示 $2x_A+3x_B\le H$。AST 描述关系，但节点本身不会自动知道工时单位、业务日期或字段权限；这些由业务绑定提供。

2. 三类容易混淆的对象

对象	职责	示例
业务规则	保存业务对象、单位、时间与来源	本班次工时不得超过 8 小时
符号表达式	保存数学结构与引用	$2x_A+3x_B\le H$
求解模型	指定变量域、约束、目标及可执行表示	非负整数产量的线性模型

数学 AST 能表示某个函数，不代表所选优化后端能够处理它。变量乘变量不能仅因为 AST 构造成功，就被放进只支持线性的路径。

3. 求值、绑定与部分求值

若 $x_A=1,x_B=2,H=8$，求值结果是 $8\le 8$，为真。若只绑定 $H=8$，产量仍未知，则保留 $2x_A+3x_B\le 8$。这是参数绑定或部分求值，不是求解出产量。

求值环境需要区分“未绑定”“无效值”和“值为零”。缺失产量不能默认为零；除数为零不能因化简而消失。布尔表达的未知值也不能自动当作 false，除非该语言明确采用并记录了这种语义。

当规则复用到另一个班次时，绑定的是新的 $H$ 与本轮产量引用，不能把旧变量实例嵌入长期保存的模板。

4. 规范化与等价性的条件

将 $2x+x$ 合并成 $3x$ 有助于规范化；将 $x/x$ 替换为 1 则要求 $x\ne 0$。浮点重排可能改变舍入误差，条件表达还可能有分支求值约定。变换规则必须说明数值域和定义域，而不是仅凭表面形式判断。

具名中间值可以使表达依赖形成有向无环图，而不必重复复制整棵树。共享节点不等于共享一个可变求值缓存；缓存与模型运行、输入及线程边界需要分离。循环定义如 $a=b+1,b=a-1$ 不能按普通表达式展开处理；若要表达方程系统，应显式建模。

5. 贯穿例子：工时指标的两种使用

概念、变量与中间值

产品集合 $I=\{A,B\}$，产量 $x_i\in {\mathbb{Z}}_{\ge 0}$（件），系数 $a_A=2,a_B=3$（小时/件），预算 $H=8$（小时）。无筛选谓词或辅助变量。工时指标为：

$$U=\sum _{i\in I}{a}_i{x}_i.$$

数据断言要求系数为正、预算非负。优化模型可以增加：

$$\text{s.t.}U\le H,max(3x_A+4x_B).$$

数值路径与建模路径

数值路径绑定已有方案 $(1,2)$ 并返回 $U=8$ 小时；建模路径保留未知产量，并将关系转换成约束系数。两条路径使用同一个数学定义，但输出一个是数值，另一个是模型结构。

这也是把表达式做成可复用组件的价值：业务指标可以服务方案展示、约束构造和结果核对，而不需要分别维护三套公式。

6. 依赖、缓存与业务身份

依赖收集回答表达式引用了哪些字段或符号，可用于确定重新绑定范围。缓存键应包含表达结构、参数值或参数槽约定、数值语义、业务数据版本及转换策略。

表达式结构相同不等于输入相同，也不等于权限相同。缓存一份表达求值计划不是缓存最优解。原始规则身份应独立于规范化后的哈希，以便错误和结果回到业务规则。

继续阅读类编译器架构与模型转换了解表达怎样进入求解模型；LLM 技术路径说明受控业务输入如何使用这一层。