二次不等式指示函数

QuadraticInequalityFunction 在有界二次多项式之上组合线性不等式指示函数。对输入多项式 $p(x)$、右侧常数 $r$ 与比较关系：

$$y=\mathbf{1}[p(x)\text{sign}r],y\in \{0,1\}。$$

真正含二次项的左侧表达式先由共享基类 QuadraticFunctionSymbol<V> 绑定到桥接变量，随后线性 InequalityFunction 在该桥接上施加 Big-M 指示编码。

契约

• 输入：lhs: QuadraticPolynomial<V>、标量 rhs: V 与 Comparison 比较关系；支持 LE、LT、GE、GT、EQ、NE。
• 标量 rhs 永远不会获得桥接；只有二次的 lhs 注册桥接变量 ${name}_input_0 及一条精确二次等式。
• createFunction 返回 InequalityFunction，并透传相同的 rhs、sign、bigM、tolerance、strictBoundary，因此辅助变量为桥接变量加上 ${name}_flag（EQ/NE 时还有 ${name}_side）。
• 直接求值保留线性页面的间隔语义：tolerance（默认 ${10}^{-6}$）是 LE/GE 的间隔及 EQ/NE 的零容差；strictBoundary（默认 $0.5$）是 LT/GT 真分支的最小差值及 EQ/NE 的带外边界。在间隔内求值返回 null。
• 泛型值要求 V : RealNumber<V>, V : NumberField<V>，并配合 IntoValue<V> 转换器。
• 公式可能是非凸 MIQCP（二次输入通过等式约束等于一个变量）；需要求解器支持非凸二次约束。

定义与数学模型

令 $d=p(x)-r$，并把请求的关系归一化为真分支的 $q\ge T$ 与假分支的 $q\le F$ —— 与线性不等式指示函数相同（GT/LE 使用 $q=d$，LT/GE 使用 $q=-d$）。对结果 $y\in \{0,1\}$，实现提交两条 Big-M 约束

$$q-M_{1}y\le F,q-M_{2}y\ge T-M_2,$$

其中间隔松弛乘子在 GT/LT 时为 $M_1=M,M_2=M+g$，在 LE/GE 时为 $M_1=M+g,M_2=M$，$g$ 对 LE/GE 取 tolerance、对 LT/GT 取 strictBoundary。因此 $y=1\Rightarrow q\ge T$、$y=0\Rightarrow q\le F$，开区间 $(F,T)$ 被有意设为不可行。EQ 与 NE 改用共享的四行零/非零 Big-M 编码并引入侧二值变量：EQ 指示等于非零指示的补集，NE 指示就是非零指示本身。

求解器数学模型

Kotlin

令输入为 $p(x)$，有限值域为 $[L,U]$。基类提交恰好一条二次等式

$$p(x)-b=0,b\in [\tilde{L},\tilde{U}],$$

其中 $b$ 是桥接变量 ${name}_input_0，值域是捕获的输入范围，仅在浮点可表示性需要时放宽。线性 InequalityFunction 随后对 $d=b-rhs$ 应用上述归一化，并提交两条 Big-M 约束（EQ/NE 时为四行零带编码）。bigM 缺省时按有限的 lhs-rhs 值域推导。

Rust

Rust 把桥接 QuadraticLinearFunction（结果列 {name}_bridge_lin_y）与建立在该列上的内层 InequalityFunction 组合，内层使用调用方传入的 right、kind 与 big_m。机制路径提交桥接的二次等式以及内层指示约束；当 token 边界可用时，内层 Big-M 会按原始二次输入的边界重新推导，且不低于策略最小值。EQ 与 NE 在内层函数中分配侧二值变量。直接求值按各关系以固定容差 $\epsilon =16{\epsilon }_{f64}$ 比较。

当前 API

Kotlin

源码：QuadraticInequality.kt（QuadraticInequalityFunction），组合自基类 QuadraticFunctionSymbol.kt。

QuadraticInequalityFunction(
    lhs: QuadraticPolynomial<V>,
    rhs: V,
    sign: Comparison,
    bigM: V? = null,
    tolerance: V? = null,
    strictBoundary: V? = null,
    converter: IntoValue<V>,
    name: String = "quadratic_inequality",
    displayName: String? = null
)

线性侧的全部参数（bigM、tolerance、strictBoundary）都透传给组合的 InequalityFunction。

Rust

Rust 的 QuadraticInequalityFunction<V> 接收平展的 Quadratic<V>、标量右侧值、显式 InequalityKind 与 Big-M：

QuadraticInequalityFunction::new(
    id: u64,
    name: &str,
    input: Quadratic<V>,
    right: V,
    kind: InequalityKind,
    big_m: V,
) -> Self

QuadraticInequalityFunction::less_equal(id: u64, name: &str, input: Quadratic<V>, right: V, big_m: V) -> Self
QuadraticInequalityFunction::greater_equal(id: u64, name: &str, input: Quadratic<V>, right: V, big_m: V) -> Self

InequalityKind 包含 LessEqual、GreaterEqual、Less、Greater、Equal、NotEqual；result_variable() 返回二值指示变量。Rust 没有 tolerance/strictBoundary 构造参数：直接求值使用上述固定 epsilon，机制路径使用显式传入或推断的 Big-M。

evaluate 与 solver 的差异

直接求值按关系的间隔分类（LE/GE 用 tolerance，LT/GT 用 strictBoundary，EQ/NE 用距离带），在间隔内返回 null。求解器注册使用相同阈值的 Big-M 约束；间隔在那里是不可行，而不是未定义。NE 在两条路径上都完整支持。Rust 的直接求值用固定 $\epsilon =16{\epsilon }_{f64}$ 比较取代可配置间隔。

最小示例

Kotlin

import fuookami.ospf.kotlin.core.solver.value.IntoValue
import fuookami.ospf.kotlin.core.symbol.function.QuadraticInequalityFunction
import fuookami.ospf.kotlin.core.variable.RealVar
import fuookami.ospf.kotlin.math.algebra.number.Flt64
import fuookami.ospf.kotlin.math.symbol.Symbol
import fuookami.ospf.kotlin.math.symbol.inequality.Comparison
import fuookami.ospf.kotlin.math.symbol.monomial.QuadraticMonomial
import fuookami.ospf.kotlin.math.symbol.polynomial.QuadraticPolynomial

val x = RealVar("x").also {
    it.range.geq(Flt64(-2.0))
    it.range.leq(Flt64(2.0))
}
val lhs = QuadraticPolynomial(
    monomials = listOf(QuadraticMonomial.quadratic(Flt64.one, x, x)),
    constant = Flt64.zero
)
val inequality = QuadraticInequalityFunction(
    lhs = lhs,
    rhs = Flt64.one,
    sign = Comparison.LE,
    converter = IntoValue.Identity,
    name = "quadratic_inequality"
)
val satisfied = inequality.evaluate(
    values = mapOf<Symbol, Flt64>(x to Flt64.one),
    tokenTable = null,
    converter = IntoValue.Identity,
    zeroIfNone = false
)
check(satisfied == Flt64.one)

Rust

use ospf_rust_core::symbol::FunctionSymbol;
use ospf_rust_core::symbol::flatten::{Quadratic, QuadraticMonomial};
use ospf_rust_core::symbol::function::QuadraticInequalityFunction;
use ospf_rust_core::token::{MutableTokenList, Token, VecTokenList};
use ospf_rust_core::variable::{ContinuousVariableItem, VariableId};

let x = ContinuousVariableItem::create(VariableId::standalone(0), "x");
let mut tokens = VecTokenList::<f64>::new();
let tx = Token::from_generic(x, 0);
tx.set_result(2.0);
tokens.add_token(tx);
let input = Quadratic::new(vec![QuadraticMonomial::new_quadratic(1.0, 0, 0)], 0.0);
let inequality = QuadraticInequalityFunction::less_equal(1, "quadratic_inequality", input, 5.0, 10.0);
assert_eq!(inequality.calculate_value(&tokens, false), Some(1.0));

测试与参考

• Kotlin 组合、注册与求值覆盖：QuadraticFunctionCompositionTest.kt
• Rust 专门契约测试：function_symbol_quadratic_inequality.rs；端到端求解覆盖：gurobi_quadratic_model_integration.rs（gurobi_solves_quadratic_inequality_with_non_linear_input）。

相关页面

• 不等式指示函数：底层线性指示语义。
• 二次线性：共享的二次桥接。
• 二次区间指示：二次输入上的区间隶属指示。