最小值（下界、下确界）

形式

$$y=min(x_1,x_2,\cdots ,x_n)$$

常量

$$M=\underset{i\in P}{max}(max(|x_i|))$$

额外变量

$maxmin\in R$ ：下界。

$u_i\in \{0,1\}$ ：下确界是 $x_i$ 的标志位。

导出符号

$$y=maxmin$$

数学模型

$$s.t.maxmin\le x_i,\mathrm{\forall }i\in P$$

上述模型约束了 $y$ 为 $x_i$ 的下界，可用于最大值目标函数。如果需要精确 $y$ 用于约束或者最小值目标函数，会额外追加以下数学模型以确保 $y$ 取到下确界：

$$\begin{array}{rlrlr}s.t.& maxmin& \ge & x_i-M\cdot (1-u_i),& \mathrm{\forall }i\in P\\ \\ & \sum _{i\in P}{u}_i& =& 1\end{array}$$

样例

kotlin

import kotlinx.coroutines.*
import fuookami.ospf.kotlin.utils.math.*
import fuookami.ospf.kotlin.core.frontend.variable.*
import fuookami.ospf.kotlin.core.frontend.expression.polynomial.*
import fuookami.ospf.kotlin.core.frontend.expression.symbol.linear_function.*
import fuookami.ospf.kotlin.core.frontend.inequality.*
import fuookami.ospf.kotlin.core.frontend.model.mechanism.*
import fuookami.ospf.kotlin.core.backend.plugins.scip.*

val x = RealVar("x")
x.range.leq(Flt64.five)
x.range.geq(Flt64.three)
val y = RealVar("y")
y.range.leq(Flt64.ten)
y.range.geq(Flt64.two)
val solver = ScipLinearSolver()

val maxmin = MaxMinFunction(listOf(x, y), name = "maxmin")
val model1 = LinearMetaModel()
model1.add(x)
model1.add(y)
model1.add(maxmin)
model1.minimize(maxmin)
val result1 = runBlocking { solver(model1) }
assert(result1.value!!.obj eq Flt64.two)

val model2 = LinearMetaModel()
model2.add(x)
model2.add(y)
model2.add(maxmin)
model2.maximize(maxmin)
val result2 = runBlocking { solver(model2) }
assert(result2.value!!.obj eq Flt64.five)

val min = MinFunction(listOf(x, y), name = "min")
val model3 = LinearMetaModel()
model3.add(x)
model3.add(y)
model3.add(min)
model3.minimize(min)
val result3 = runBlocking { solver(model3) }
assert(result3.value!!.obj ls Flt64.zero)       // -inf

val model4 = LinearMetaModel()
model4.add(x)
model4.add(y)
model4.add(min)
model4.maximize(min)
val result4 = runBlocking { solver(model4) }
assert(result4.value!!.obj eq Flt64.five)

完整实现请参考：

• Kotlin

完整样例请参考：

• Kotlin