一元线性分段函数

UnivariateLinearPiecewiseFunction 表示对连续采样点 $(t_i,f_i)$ 逐段线性插值得到的函数图形。采样点至少有两个，$t_i$ 必须有限且严格递增；$[t_0,t_m]$ 之外的求值未定义。

求解器数学模型

Kotlin 为每条线段创建二元选择变量 $z_j$。令该段的仿射公式为 $g_j(x)=a_{j}x+b_j$，实现强制 $\sum _j{z}_j=1$，用有限 Big-M 把 $x$ 限制到所选区间，并门控 $y=g_j(x)$。

Rust 使用采样点权重 ${\lambda }_i\in [0,1]$ 和相同的一热段选择变量 $z_j\in \{0,1\}$，并强制

$$\begin{array}{rlrl}\sum _i{\lambda }_i& =1,& \sum _j{z}_j& =1,\\ x& =\sum _i{t}_i{\lambda }_i,& y& =\sum _i{f}_i{\lambda }_i.\end{array}$$

相邻性约束为

$${\lambda }_0\le z_0,{\lambda }_m\le z_{m-1},{\lambda }_i\le z_{i-1}+z_i(0<i<m).$$

因此只有所选线段的两个端点可以具有正权重。两边内部公式虽然不同，但现在都表示单一激活线段，并排除任意混合不相邻采样点的凸包行为。

Kotlin/Rust 示例

Kotlin

val piecewise = UnivariateLinearPiecewiseFunction.fromPoints(
    x = input,
    points = points,
    converter = IntoValue.Identity,
    name = "ulp"
)

Rust

let piecewise = UnivariateLinearPiecewiseFunction::new(
    1,
    "ulp",
    input,
    vec![
        Point2::new(0.0, 0.0),
        Point2::new(1.0, 2.0),
        Point2::new(2.0, 0.0),
    ],
);
assert_eq!(piecewise.selector_variables().len(), 2);

求值与边界

在 $[t_i,t_{i+1}]$ 上，直接求值采用

$$y=f_i+\frac{x-t_i}{t_{i+1}-t_i}(f_{i+1}-f_i).$$

输入缺失或超出采样点定义域时，Kotlin 返回 null，Rust 返回 None。重复、降序、非有限或数量不足的采样点会被拒绝。

测试与参考

• Kotlin 独立聚焦测试：UnivariateLinearPiecewiseFunctionDedicatedTest.kt
• Kotlin 边界/注册测试：UnivariateLinearPiecewiseFailureBoundaryTest.kt
• Kotlin 实现：UnivariateLinearPiecewise.kt
• Rust 实现：univariate_linear_piecewise.rs
• Rust 独立测试：function_symbol_univariate_linear_piecewise.rs

独立聚焦测试会断言辅助变量数量和每一条选择/分段图形约束行，并覆盖端点、定义域外求值及非法采样点校验。

点形式和线段形式共享严格递增的断点契约。Kotlin 直接接收 breakpoints/slopes/intercepts；Rust 还提供 UnivariateLinearPiecewiseFunction::from_segments，并要求每个相邻断点对 对应一个斜率和截距。非法值会在注册辅助变量前拒绝。