Xor（恰好一个）

XorFunction 当且仅当恰好一个输入表达式非零时返回一。对两个输入，它等同于通常的 XOR；对三个及以上输入，它是“恰好一个”谓词，不是奇数奇偶校验。

数学定义

令非零指示变量为 $a_i\in \{0,1\}$，结果为 $y\in \{0,1\}$：

$$y=1⟺\sum _i{a}_i=1.$$

Kotlin 与 Rust 使用相同的精确线性编码：

$$\begin{array}{rl}y& \le \sum _i{a}_i,\\ y& \ge a_i-\sum _{j\ne i}{a}_j& & \mathrm{\forall }i,\\ y+a_i+a_j& \le 2& & \mathrm{\forall }i<j.\end{array}$$

第一条在所有输入均为零时强制 $y=0$；第二组在只有一个指示变量激活时强制 $y=1$；成对约束在至少两个指示变量激活时强制 $y=0$。

非零指示模型

每个输入通过共享的非零 Big-M 公式连接到一个指示变量和一个符号侧辅助变量。两种实现的默认零带容差都是 1e-10，严格非零边界约为 1.6e-9。Kotlin 的直接构造器暴露 bigM、tolerance 和 strictBoundary；Rust 暴露对应的 with_big_m、with_tolerance、with_strict_boundary 和 with_parameters 构造器。abs(input) <= tolerance 视为零；tolerance < abs(input) < strictBoundary 的开放过渡区返回未定义（null/None），因为求解器会刻意拒绝这一区间；达到严格边界才视为非零。

Kotlin/Rust 示例

Kotlin

val exactlyOne = XorFunction(
    polynomials = listOf(a, b, c),
    converter = IntoValue.Identity,
    name = "exactly-one"
)
check(exactlyOne.evaluate(valuesWithOnlyA) == Flt64.one)
check(exactlyOne.evaluate(valuesWithAAndB) == Flt64.zero)

Rust

let exactly_one = XorFunction::new(1, "exactly_one", vec![a, b, c]);
assert_eq!(exactly_one.calculate_value(&only_a_tokens, false), Some(1.0));
assert_eq!(exactly_one.calculate_value(&a_and_b_tokens, false), Some(0.0));

Rust 也可以一次配置全部数值策略：

let configured = XorFunction::new(2, "configured_xor", vec![a, b])
    .with_parameters(Some(100.0), 1e-8, 1e-6);

测试与参考

• Kotlin：XorFunctionDedicatedTest.kt
• Kotlin 实现：And.kt
• Rust：function_symbol_xor.rs
• Rust 实现：and.rs