二元线性分段函数

BivariateLinearPiecewiseFunction 表示定义在三角剖分上的分片平面。每个单元包含三个顶点 $(x_{tk},y_{tk},z_{tk})$。

求解器数学模型

令 $s_t\in \{0,1\}$ 选择三角形，${\lambda }_{tk}\in [0,1]$ 为该三角形的重心权重。两种实现都强制恰好一个三角形激活且其权重之和为一，并把坐标表示为所有顶点的加权和：

$$\begin{array}{rl}\sum _t{s}_t& =1,\\ x& =\sum _{t,k}{x}_{tk}{\lambda }_{tk},\\ y& =\sum _{t,k}{y}_{tk}{\lambda }_{tk},\\ z& =\sum _{t,k}{z}_{tk}{\lambda }_{tk}.\end{array}$$

Rust 用每个三角形的等式 $\sum _{k=0}^2{\lambda }_{tk}=s_t$ 把权重组绑定到选择变量，并把 $z$ 关系注册为显式等式行。Kotlin 则组合全局行 $\sum _{t,k}{\lambda }_{tk}=1$ 与每个三角形的 SOS2 风格行 $\sum _{k=0}^2{\lambda }_{tk}\le 3s_t$，并把 $z=\sum _{t,k}{z}_{tk}{\lambda }_{tk}$ 直接作为 resultPolynomial 暴露；在 $s_t$ 为二值变量时两种编码描述同一可行域。

只有一个三角形可以具有非零权重。该模型不是所有顶点的无约束凸包，因此能够保留非共面单元之间的分段曲面。

直接求值

求值器对每个三角形计算重心坐标 $({\lambda }_0,{\lambda }_1,{\lambda }_2)$。两种实现使用相同的几何容差 1e-12，允许权重低至 -1e-12。第一个满足所有权重在该容差内的三角形包含输入点，此时

$$z={\lambda }_0{z}_0+{\lambda }_1{z}_1+{\lambda }_2{z}_2.$$

输入不属于任何三角形时返回 null/None。两种实现都会在构造时拒绝坐标非有限或二维行列式绝对值不大于 1e-12 的三角形，因此退化三角形无法进入求值。

Kotlin/Rust 示例

Kotlin

val surface = BivariateLinearPiecewiseFunction(
    x = xPolynomial,
    y = yPolynomial,
    triangles = triangles,
    converter = IntoValue.Identity,
    name = "surface"
)

Rust

let surface = BivariateLinearPiecewiseFunction::new(
    1,
    "surface",
    x_input,
    y_input,
    vec![Triangle3::new(
        Point3::new(0.0, 0.0, 0.0),
        Point3::new(1.0, 0.0, 10.0),
        Point3::new(0.0, 1.0, 20.0),
    )],
);
assert_eq!(surface.selector_variables().len(), 1);

测试与参考

• Kotlin 实现：BivariateLinearPiecewise.kt
• Kotlin 独立测试：BivariateLinearPiecewiseFunctionDedicatedTest.kt
• Rust 实现：bivariate_linear_piecewise.rs
• Rust 独立测试：function_symbol_bivariate_linear_piecewise.rs