二次区间指示

QuadraticInStepRangeFunction 是闭区间门控函数，不是 floor 或按步长取整函数。设二次多项式为 $p(x)$，且 $L\le U$，区间外分类容差为 $\epsilon >0$：

$$g_{\epsilon }(p)=\{\begin{array}{ll}p(x),& L\le p(x)\le U,\\ 0,& p(x)\le L-\epsilon \text{或}p(x)\ge U+\epsilon ,\\ \text{未定义},& \text{其他情况}.\end{array}$$

未定义带显式说明了连续域的边界契约：严格补集无法由有限个非严格不等式精确编码。两种实现都创建三个互斥的二值指示变量 $z_{in}$、$z_{low}$、$z_{high}$，以及有符号结果变量 $y$。取正的 Big-M 常数 $M$，求解器模型为：

$$\begin{array}{rl}p(x)-M{z}_{in}& \ge L-M,\\ p(x)+M{z}_{in}& \le U+M,\\ p(x)+M{z}_{low}& \le L-\epsilon +M,\\ p(x)-M{z}_{high}& \ge U+\epsilon -M,\\ z_{in}+z_{low}+z_{high}& =1,\\ y-p(x)-M{z}_{in}& \ge -M,\\ y-p(x)+M{z}_{in}& \le M,\\ y-M{z}_{in}& \le 0,\\ y+M{z}_{in}& \ge 0.\end{array}$$

三状态 one-hot 划分保证：$[L,U]$ 内只能选择 inside 分支，低于或等于 $L-\epsilon$ 时选择 low 分支，高于或等于 $U+\epsilon$ 时选择 high 分支。最后四条约束仅在 inside 分支令 $y=p(x)$，其他分支令 $y=0$。

API

Kotlin

val p = QuadraticPolynomial(
    monomials = listOf(QuadraticMonomial.quadratic(Flt64.one, x, x)),
    constant = Flt64.zero
)
val f = QuadraticInStepRangeFunction(
    x = p,
    lower = Flt64.zero,
    upper = Flt64(4.0),
    bigM = Flt64(100.0),
    outsideTolerance = Flt64(1e-6),
    converter = IntoValue.Identity,
    name = "square_gate"
)

Rust

let p = Quadratic::new(
    vec![QuadraticMonomial::new_quadratic(1.0, x_index, x_index)],
    0.0,
);
let f = QuadraticInStepRangeFunction::with_parameters(
    11, "square_gate", p, 0.0, 4.0, 100.0, 1e-6,
);

旧 Rust 步长取整构造器以及 with_quadratic_bounds API 已删除。如果数学含义确实是 $L+|s|\lfloor (U-L)/|s|\rfloor$，应使用独立的 floor 函数。

求值与注册

求值在闭区间内返回输入，在区间外容差之外返回零，在两侧未定义容差带内返回 null/None。注册时加入三个二值指示变量和有符号结果辅助变量，并提交九条约束。输入只有线性项时通过线性机制模型提交；包含二次项时通过二次机制模型提交。

测试与源码

• Kotlin 源码：QuadraticInStepRange.kt
• Rust 源码：quadratic_in_step_range.rs
• Kotlin 独立测试：QuadraticInStepRangeFunctionDedicatedTest.kt 与 QuadraticFunctionGenericEvaluationTest.kt
• Rust 独立测试：function_symbol_quadratic_in_step_range.rs

相关页面

• 线性区间步进
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