生产上下文模型

1. 概述

生产上下文拥有切割方案使用变量及产品产出表达式，把已生成方案编译为受限主问题，并通过列插入更新模型。

1. 依赖上下文

材料上下文提供产品、需求和方案系数。切割方案生成服务提供初始列与定价列；可选长度分配、损耗目标等管线依赖生产聚合。应用层控制求解循环。

2. 概念 / 实体

1. 产品与方案

$d_{p}$ ：产品 $p$ 的需求。

$a_{p j}$ ：使用一次方案 $j$ 对产品 $p$ 的需求贡献。在 Demo3 的计件配置中，它是方案内相应产品的件数。

2. 材料使用与余料

$m (j)$ ：方案 $j$ 使用的材料；使用一次方案计为该材料的一批。

$r_{j}$ ：一次方案 $j$ 的余料，由方案数据计算；它不依赖主问题中的产品总产出。

3. 变量

1. 决策变量

$x_{j}$ ：方案 $j$ 的使用次数，无量纲， $\forall j \in J_{t}$ 。列生成的线性松弛使用 $x_{j} \in R_{\geq 0}$ ；整数求解使用 $x_{j} \in Z_{\geq 0}$ 。

产品产出 $q_{p}$ 是中间值，不另设未关联的产品产量变量。

2. 辅助变量

若整数求解配置包含对应需求的产出偏差项， $u_{p}, o_{p} \in R_{\geq 0}$ 分别表示不足和超产，单位与需求一致， $\forall p \in P$ 。LP 路径不注册这些产出松弛；Demo3 未配置这些偏差项，使用硬需求覆盖。这里的条件不是一个名为 slack 的独立 API 开关。

4. 谓词

$active (j, t)$ ：方案 $j$ 在本轮求解前已插入列池。

$feasible (j)$ ：方案满足材料与加工规则。

$contributes (j, p)$ ：方案对产品 $p$ 的需求贡献非零。

$slackEnabled (p)$ ：整数求解配置包含产品 $p$ 对应需求的产出偏差项；它是本文对配置条件的记号。

5. 集合

$P$ ：产品集合； $M$ ：材料集合。

$J_{t}$ ：第 $t$ 次受限主问题求解可用的方案列； $J_{t}^{m}$ ：其中使用材料 $m$ 的方案。

J_{t} = {j : active (j, t) \land feasible (j)} .

它是迭代相关的有限集合，不是预先枚举的全部切割方案。

6. 中间值

1. 产品产出

描述：总产出等于各方案需求贡献乘以其使用次数，再按产品汇总。

q_{p} = \sum_{j \in J_{t}} a_{p j} x_{j}, \forall p \in P .

2. 材料使用量

描述：每使用一次属于材料 $m$ 的方案，就消耗该材料一批；不从产品产量反推出另一套使用模型。

U_{m} = \sum_{j \in J_{t}^{m}} x_{j}, \forall m \in M .

3. 总余料

描述：每个方案余料是固定列系数，总余料按方案使用次数加权。

R = \sum_{j \in J_{t}} r_{j} x_{j} .

$q_{p}, U_{m}, R$ 表示派生量；是否注册某个损耗表达式或将其加入目标由对应配置决定。

7. 断言

所有进入主问题的列都必须可行，且各产品的需求贡献采用与 $d_{p}$ 一致的单位：

\forall j \in J_{t} : feasible (j), \forall p \in P, j \in J_{t} : a_{p j} \geq 0.

在线性松弛阶段，不应把方案使用量的分数值直接解释为最终生产方案；整数结果还需依据原始需求和方案数据分析。

8. 约束

1. 产品需求覆盖（Product Demand Coverage）

描述：普通需求配置对每个产品分别保证产出不小于需求。

s . t . \sum_{j \in J_{t}} a_{p j} x_{j} \geq d_{p}, \forall p \in P .

不能改写成对所有产品产量求一次总和后与每个产品需求比较。

2. 产出松弛形式（Yield Slack Form）

描述：启用产出不足/超产表达时，对应平衡形式为：

q_{p} - o_{p} + u_{p} = d_{p}, u_{p}, o_{p} \geq 0, \forall p \in P .

不足量是否允许、如何受限或受罚，由所选管线决定；不能仅写上式就声称仍然强制满足原始需求。

3. 可选资源与长度规则

材料管线对有限的可用批次 $B_{m}$ 注册：

s . t . U_{m} \leq B_{m}, \forall m \in M 且 B_{m} 为有限可用批次 .

Demo3 的材料未设置有限可用批次，机器列表为空。因此虽会注册材料使用中间值，但不会产生材料批次上限或机器约束。动态长度和其他资源规则同样需要相应数据与配置，不能替换成未定义的“机器工时容量”。

9. 目标函数（如适用）

描述：基础方案使用目标最小化使用次数：

min Z = \sum_{j \in J_{t}} x_{j} .

Demo3 未传入额外求解配置，使用上述默认目标，没有额外的产出偏差、废料或长度目标。可选损耗管线可以配置余料、材料成本或超产相关目标；不能无条件把所有项相加，更不能把余料宽度和货币成本以未定义的单位直接相加。

10. 算法引用

算法	引用位置	说明
受限主问题 LP	第 3、8、9 节	计算当前列池解与对偶价格
方案定价	材料与生成服务	搜索负约化成本的可行方案
列插入	第 5、6 节	增加方案变量并更新产出、资源和目标系数
整数求解与结果分析	第 3、7 节	将列使用量恢复为可执行切割方案

Kotlin 生产上下文源码；Kotlin/Rust 示例入口。

11. 通用语言

术语	符号	定义
方案使用量	$x_{j}$	方案使用的次数
产品产出	$q_{p}$	各方案合计对产品的需求贡献
材料使用量	$U_{m}$	方案加权汇总的材料使用
总余料	$R$	方案余料按使用量加权的总和
产出不足 / 超产	$u_{p}, o_{p}$	可选需求平衡形式中的偏差
当前列池	$J_{t}$	本轮主问题可用的切割方案

12. 设计决策

决策	备选方案	原因
按方案声明使用变量	同时声明未关联的产品量与方案量	由列系数直接保证产出一致性
分离 LP 与整数阶段	每次定价前都求整数主问题	LP 对偶价格用于列生成
明确可选松弛与目标	默认加入全部惩罚和资源规则	保持配置与实际模型一致

13. 变更记录

版本	变更	原因
1.1	对齐双语产出公式、变量域与余料定义	消除方案和产品变量混用

生产上下文模型 ​

1. 概述 ​

1. 依赖上下文 ​

2. 概念 / 实体 ​

1. 产品与方案 ​

2. 材料使用与余料 ​

3. 变量 ​

1. 决策变量 ​

2. 辅助变量 ​

4. 谓词 ​

5. 集合 ​

6. 中间值 ​

1. 产品产出 ​

2. 材料使用量 ​

3. 总余料 ​

7. 断言 ​

8. 约束 ​

1. 产品需求覆盖（Product Demand Coverage） ​

2. 产出松弛形式（Yield Slack Form） ​

3. 可选资源与长度规则 ​

9. 目标函数（如适用） ​

10. 算法引用 ​

11. 通用语言 ​

12. 设计决策 ​

13. 变更记录 ​